Εν τέλει, είναι τα μαθηματικά «αληθινά»;

Πριν λίγο καιρό είχα γράψει ένα άρθρο για το τι είναι τα μαθηματικά, όπου μίλησα τόσο για τη δική μου εμπειρία, όσο και για την άποψη του μαθηματικού Michael S. Laufer, ο οποίος ισχυρίστηκε ότι τα μαθηματικά είναι τέχνη και θα έπρεπε να διδάσκονται με έναν αντίστοιχο τρόπο, δίνοντας έμφαση στην κατανόηση της φύσης τους και της γενικότερης χρησιμότητάς τους. Πριν λίγες μέρες, το θέμα αυτό αναδύθηκε με αφορμή ένα βίντεο στο TikTok ενός έφηβου κοριτσιού, της Gracie Cunningham, η οποία ενώ εφάρμοζε το μακιγιάζ της για να πάει στη δουλειά ρώτησε αν τα μαθηματικά είναι «αληθινά». Πρόσθεσε: «Ξέρω ότι είναι αληθινά, γιατί τα μαθαίνουμε στο σχολείο... αλλά ποιος είχε αυτήν την ιδέα;» «Ο Πυθαγόρας», σκέφτεται, «δεν είχε καν υδραυλικά αλλά σκέφτηκε, "Ας αναλογιστώ για το y=mx + b"» αναφερόμενη στην εξίσωση που περιγράφει μια ευθεία γραμμή σε ένα δισδιάστατο επίπεδο. Αναρωτήθηκε, λοιπόν από πού προήλθαν όλα. «Αντιλαμβάνομαι την αριθμητική» είπε «αλλά πώς γεννήθηκε η ιδέα της άλγεβρας; Τι θα το έκανε αυτό; Σε τι θα του ήταν χρήσιμο;»

Κάποιος αναδημοσίευσε το βίντεο αυτό στο Twitter, και πολύ σύντομα έγινε viral. Πολλά από τα σχόλια ήταν άσχημα: Κάποιος είπε ότι ήταν το «πιο ηλίθιο βίντεο» που είχαν δει ποτέ. Άλλοι ισχυρίστηκαν ότι ήταν ενδεικτικό ενός αποτυχημένου εκπαιδευτικού συστήματος. Κάποιοι, όμως, υποστήριξαν την Cunningham λέγοντας ότι οι ερωτήσεις της είχαν μεγάλο βάθος. Οι μαθηματικοί από το Cornell και από το Πανεπιστήμιο του Wisconsin συνέβαλαν στην κουβέντα, όπως έκανε και ο φιλόσοφος Philip Goff του Πανεπιστημίου Durham στο Ηνωμένο Βασίλειο. Η μαθηματικός Eugenia Cheng, η οποία είναι επί του παρόντος η μόνιμη επιστήμονας στο Art Institute of Chicago (Ινστιτούτο Τέχνης του Σικάγο), έγραψε μια απάντηση δύο σελίδων λέγοντας ότι η Cunningham είχε θέσει βαθιά ερωτήματα σχετικά με τη φύση των μαθηματικών «με έναν πολύ βαθιά διερευνητικό τρόπο».

Η Cunningham είχε αναζωπυρώσει άθελά της μια πολύ αρχαία και άλυτη συζήτηση στη φιλοσοφία της επιστήμης. Τι ακριβώς είναι τα μαθηματικά; Εφευρέθηκαν ή ανακαλύφθηκαν; Και είναι τα πράγματα με τα οποία δουλεύουν οι μαθηματικοί −αριθμοί, αλγεβρικές εξισώσεις, γεωμετρία, θεωρήματα και ούτω καθεξής− πραγματικά;

Ο Dan Falk έγραψε επί του θέματος στο περιοδικό Smithsonian ότι μερικοί μελετητές αισθάνονται πολύ έντονα ότι οι μαθηματικές αλήθειες είναι «εκεί έξω» και περιμένουν να ανακαλυφθούν − μια θέση γνωστή ως Πλατωνισμός: παίρνει το όνομά του από τον αρχαίο Έλληνα στοχαστή Πλάτωνα, ο οποίος φαντάστηκε ότι οι μαθηματικές αλήθειες κατοικούν σε έναν δικό τους κόσμο, όχι έναν φυσικό κόσμο, αλλά μάλλον μια μη φυσική σφαίρα αμετάβλητης τελειότητας, μια σφαίρα που υπάρχει εκτός του χώρου και χρόνου. Ο Roger Penrose, ο διάσημος βρετανός μαθηματικός-φυσικός, ασπάζεται αυτή τη θεωρία. Στο βιβλίο του «The Emperor’s New Mind: Concerning Computers, Minds and the Laws of Physics» έγραψε ότι φαίνεται να υπάρχει «μια βαθιά πραγματικότητα σχετικά με αυτές τις μαθηματικές έννοιες που ξεπερνούν κατά πολύ τις διανοητικές συζητήσεις οποιουδήποτε συγκεκριμένου μαθηματικού. Είναι σαν, αντ’ αυτού, η ανθρώπινη σκέψη να κατευθύνεται προς κάποια εξωτερική αλήθεια − μια αλήθεια που έχει τη δική της πραγματικότητα».

Πολλοί μαθηματικοί φαίνεται να υποστηρίζουν αυτήν την άποψη. Τα πράγματα που έχουν ανακαλύψει κατά τη διάρκεια των αιώνων −ότι δεν υπάρχει μεγαλύτερος πρώτος αριθμός, ότι η τετραγωνική ρίζα του 2 είναι ένας παράλογος αριθμός, ότι ο αριθμός π, όταν εκφράζεται ως δεκαδικός, συνεχίζεται για πάντα− φαίνεται να είναι αιώνιες αλήθειες, ανεξάρτητα από αυτούς που τα ανακάλυψαν. Αν κάποια μέρα συναντούσαμε ευφυείς εξωγήινους από έναν άλλο γαλαξία, δεν θα είχαν την ίδια γλώσσα ή τον ίδιο πολιτισμό με μας, αλλά οι πλατωνιστές θα ισχυρίζονταν ότι θα μπορούσαν και εκείνοι να έχουν κάνει τις ίδιες μαθηματικές ανακαλύψεις. Ο James Robert Brown, φιλόσοφος της επιστήμης που συνταξιοδοτήθηκε πρόσφατα από το Πανεπιστήμιο του Τορόντο, είπε «πιστεύω ότι ο μόνος τρόπος να κατανοήσουμε τα μαθηματικά είναι να πιστεύουμε ότι υπάρχουν αντικειμενικές μαθηματικές αλήθειες και ότι ανακαλύπτονται από μαθηματικούς». Συνεχίζει λέγοντας ότι «οι μαθηματικοί που εργάζονται είναι σε μεγάλο βαθμό "ακόλουθοι" του Πλάτωνα. Δεν αυτοαποκαλούνται πάντα έτσι αλλά αν τους θέσετε σχετικές ερωτήσεις δίνουν πάντα μια πλατωνική απάντηση».

Άλλοι μελετητές −ειδικά εκείνοι που εργάζονται σε άλλους κλάδους της επιστήμης− βλέπουν τον πλατωνισμό με σκεπτικισμό. Οι επιστήμονες τείνουν να είναι εμπειρικοί. Φαντάζονται ότι το σύμπαν αποτελείται από πράγματα που μπορούμε να αγγίξουμε και να γευτούμε και ούτω καθεξής, πράγματα δηλαδή για τα οποία μπορούμε να μάθουμε μέσω της παρατήρησης και του πειράματος. Η ιδέα του ότι κάτι που υπάρχει «έξω από τον χώρο και τον χρόνο» κάνει τους εμπειρικούς να «αγχώνονται». Εάν η αλήθεια των μαθηματικών δηλώσεων μπορεί να επιβεβαιωθεί μόνο με τη σκέψη, τότε γιατί δεν ισχύει το ίδιο για τα ηθικά προβλήματα ή ακόμη και τα θρησκευτικά ζητήματα; Γιατί να ασχοληθούμε με τον εμπειρισμό;

Τον Massimo Pigliucci, φιλόσοφο στο City University της Νέας Υόρκης, τον προσέλκυσε αρχικά ο πλατωνισμός − αλλά μετά άρχισε να τον βλέπει ως προβληματικό. Εάν κάτι δεν έχει φυσική ύπαρξη, ρωτάει, τότε τι είδους ύπαρξη θα μπορούσε ενδεχομένως να έχει; «Αν κάποιος αντιμετωπίζει τα μαθηματικά μέσα από ένα πλατωνικό πρίσμα, τότε ο εμπειρισμός εξαφανίζεται». Κάποιος που ασπάζεται τον πλατωνισμό έχει να αντιμετωπίσει περαιτέρω προκλήσεις: Εάν υπάρχουν μαθηματικά αντικείμενα εκτός του χώρου και του χρόνου, πώς μπορούμε να γνωρίζουμε κάτι γι’ αυτά; Ο Brown δεν έχει την απάντηση, αλλά προτείνει να κατανοήσουμε την αλήθεια των μαθηματικών δηλώσεων «με το μάτι του νου» − με έναν τρόπο παρόμοιο, ίσως, με αυτόν που οι επιστήμονες όπως ο Γαλιλαίος και ο Αϊνστάιν διαισθάνθηκαν τις φυσικές αλήθειες μέσω «νοηματικών πειραμάτων», πριν τα πραγματικά πειράματα μπορούσαν να επιλύσουν το ζήτημα.

Αναλογιστείτε ένα γνωστό νοηματικό πείραμα που έκανε ο Γαλιλαίος για να προσδιορίσει εάν ένα βαρύ αντικείμενο πέφτει γρηγορότερα από ένα ελαφρύτερο. Μόνο με τη σκέψη, ο Γαλιλαίος μπόρεσε να συμπεράνει ότι τα βαριά και τα ελαφριά αντικείμενα πέφτουν με τον ίδιο ρυθμό. Αναρωτήθηκε εάν το πιο βαρύ «παρασέρνει» το ελαφρύτερο και κάνει το ελαφρύτερο να πέσει γρηγορότερα, ή εάν το ελαφρύτερο λειτουργεί ως «φρένο» για να επιβραδύνει το βαρύτερο. Η μόνη λύση που βγάζει νόημα, είπε ο Γαλιλαίος, είναι ότι τα αντικείμενα πέφτουν με τον ίδιο ρυθμό ανεξάρτητα από το βάρος τους. Με παρόμοιο τρόπο, οι μαθηματικοί μπορούν να αποδείξουν ότι το άθροισμα των γωνιών ενός τριγώνου είναι 180 μοίρες ή ότι δεν υπάρχει μεγαλύτερος πρώτος αριθμός - και δεν χρειάζονται φυσικά τρίγωνα για να το αποδείξουν αυτό. Το μόνο που αρκεί είναι ένα εύστροφο μυαλό. Εν τω μεταξύ ο Brown μας λέει ότι «χρειαζόμαστε αφηρημένες οντότητες για να κατανοήσουμε μια πληθώρα πραγμάτων, όχι μόνο τα μαθηματικά αλλά τη γλωσσολογία και την ηθική».

Ο πλατωνισμός έχει διάφορες εναλλακτικές λύσεις. Μια δημοφιλής άποψη είναι ότι τα μαθηματικά είναι απλώς ένα σύνολο κανόνων που δημιουργήθηκαν από ένα σύνολο αρχικών υποθέσεων − αυτό που οι μαθηματικοί αποκαλούν αξιώματα. Μόλις τεθούν σε εφαρμογή τα αξιώματα, ακολουθεί ένα τεράστιο φάσμα λογικών συμπερασμάτων, αν και πολλά από αυτά μπορεί να είναι δύσκολο να βρεθούν. Σε αυτήν την άποψη, τα μαθηματικά μοιάζουν περισσότερο με μια εφεύρεση παρά μια ανακάλυψη. Τουλάχιστον, φαίνεται σαν μια πολύ πιο ανθρωποκεντρική προσπάθεια. Μια ακραία εκδοχή αυτής της άποψης θα μείωνε τα μαθηματικά παρομοιάζοντάς τα με ένα παιχνίδι σαν το σκάκι: καταγράφουμε τους κανόνες, και από αυτούς τους κανόνες ακολουθούν διάφορες στρατηγικές και συνέπειες.

Αλλά και αυτή η άποψη φαίνεται να είναι προβληματική. Εάν τα μαθηματικά είναι κάτι που βγάζουμε από το μυαλό μας, γιατί «ταιριάζουν» τόσο καλά με αυτά που παρατηρούμε στη φύση; Γιατί μια αλυσιδωτή αντίδραση στην πυρηνική φυσική να ακολουθεί μια εκθετική καμπύλη; Γιατί οι τροχιές των πλανητών έχουν σχήμα ελλειπτικό; Γιατί εμφανίζεται η ακολουθία Fibonacci στα μοτίβα που φαίνονται στους ηλίανθους, τα σαλιγκάρια, τους τυφώνες και τους σπειροειδείς γαλαξίες; Γιατί, με λίγα λόγια, έχουν τα μαθηματικά αποδειχθεί τόσο εντυπωσιακά χρήσιμα στην περιγραφή του φυσικού κόσμου; Ο θεωρητικός φυσικός Eugene Wigner τόνισε αυτό το ζήτημα σε ένα διάσημο δοκίμιο του 1960 με τίτλο «Η παράλογη αποτελεσματικότητα των μαθηματικών στις φυσικές επιστήμες» (The Unreasonable Effectiveness of Mathematics in the Natural Sciences). Ο Wigner κατέληξε στο συμπέρασμα ότι η χρησιμότητα των μαθηματικών στην αντιμετώπιση προβλημάτων στη φυσική «είναι ένα υπέροχο δώρο το οποίο ούτε καταλαβαίνουμε ούτε αξίζουμε».

Ωστόσο, ορισμένοι σύγχρονοι στοχαστές πιστεύουν ότι έχουν απάντηση στο δίλημμα του Wigner. Αν και τα μαθηματικά μπορούν να θεωρηθούν ως μια σειρά από συμπεράσματα που προέρχονται από ένα μικρό σύνολο αξιωμάτων, αυτά τα αξιώματα δεν επιλέχθηκαν από καπρίτσιο, υποστηρίζουν. Όπως το λέει ο Pigliucci: «Η καλύτερη απάντηση που μπορώ να δώσω [στο ερώτημα του Wigner] είναι ότι αυτή η "παράλογη αποτελεσματικότητα" είναι στην πραγματικότητα πολύ λογική, διότι τα μαθηματικά είναι άμεσα συνδεδεμένα με τον πραγματικό κόσμο και αυτό ίσχυε πάντα».

Ο Carlo Rovelli, θεωρητικός φυσικός στο Πανεπιστήμιο Aix-Marseille στη Γαλλία, επισημαίνει το παράδειγμα της ευκλείδειας γεωμετρίας – της επίπεδης γεωμετρίας που πολλοί από εμάς μάθαμε στο γυμνάσιο. Οι μαθητές που μαθαίνουν ότι ένα ισόπλευρο τρίγωνο έχει τρεις γωνίες 60 μοιρών η καθεμία, ή ότι το τετράγωνο της υποτινούσης ενός ορθογώνιου τριγώνου ισούται με το άθροισμα των τετραγώνων των δύο κάθετων πλευρών –δηλαδή το Πυθαγόρειο θεώρημα– κάνουν Ευκλείδεια γεωμετρία. Ένας πλατωνιστής μπορεί να ισχυριστεί ότι τα ευρήματα της ευκλείδειας γεωμετρίας «αισθάνονται» καθολικά – αλλά δεν είναι, λέει ο Rovelli. «Μόνο επειδή τυχαίνει να ζούμε σε ένα μέρος που είναι παράξενα επίπεδο, καταλήξαμε σε αυτήν την ιδέα της ευκλείδειας γεωμετρίας ως "φυσικό πράγμα" που πρέπει να κάνουν όλοι», λέει. «Εάν η γη ήταν λίγο μικρότερη ώστε να βλέπουμε την καμπυλότητά της, δεν θα είχαμε αναπτύξει ποτέ ευκλείδεια γεωμετρία. Μην ξεχνάτε ότι "γεωμετρία" σημαίνει "μέτρηση της γης" και η γη είναι στρογγυλή. Αντ’ αυτού θα είχαμε αναπτύξει σφαιρική γεωμετρία».

Ο Rovelli προχωρά περαιτέρω, αμφισβητώντας την καθολικότητα των φυσικών αριθμών: 1, 2, 3, 4 ... Για τους περισσότερους από εμάς, και σίγουρα για έναν πλατωνιστή, οι φυσικοί αριθμοί φαίνονται φυσικοί. Αν συναντούσαμε αυτούς τους έξυπνους εξωγήινους, θα ήξεραν ακριβώς τι εννοούσαμε όταν λέγαμε ότι 2 + 2 = 4 (μόλις η δήλωση αυτή μεταφραστεί στη γλώσσα τους). Μας προειδοποιεί όμως να μην βιαστούμε. Η μέτρηση «υφίσταται μόνο όταν έχουμε πέτρες, δέντρα, ανθρώπους - μεμονωμένα, μετρήσιμα πράγματα», λέει. «Γιατί θα πρέπει αυτό να είναι πιο θεμελιώδες από τα μαθηματικά των υγρών, για παράδειγμα; Εάν συναντήσουμε ευφυή πλάσματα που ζουν μέσα, ας πούμε, στα σύννεφα της ατμόσφαιρας του Δία, μπορεί να μην έχουν καθόλου διαίσθηση για την μέτρηση ή για τους φυσικούς αριθμούς», λέει ο Rovelli. Πιθανώς θα μπορούσαμε να τους διδάξουμε τους φυσικούς αριθμούς −όπως θα μπορούσαμε να τους διδάξουμε τους κανόνες στο σκάκι− αλλά αν ο Rovelli έχει δίκιο, αυτό υποδηλώνει ότι αυτός ο κλάδος των μαθηματικών δεν είναι τόσο καθολικός όσο φαντάζονται οι Πλατωνιστές. Όπως και ο Pigliucci, έτσι και ο Rovelli πιστεύει ότι τα μαθηματικά «δουλεύουν» επειδή τα φτιάξαμε για τη χρησιμότητά τους. «Είναι σαν να ρωτάς γιατί ένα σφυρί λειτουργεί τόσο καλά για το χτύπημα των καρφιών», λέει. «Είναι επειδή τα δημιουργήσαμε για αυτόν τον σκοπό».

Στην πραγματικότητα, λέει ο Rovelli, ο ισχυρισμός του Wigner ότι τα μαθηματικά είναι θεαματικά χρήσιμα για την πραγματοποίηση της επιστήμης, δεν είναι 100% αλήθεια. Υποστηρίζει ότι πολλές ανακαλύψεις από μαθηματικούς δεν έχουν καμία χρησιμότητα για άλλους επιστήμονες. «Υπάρχει ένα τεράστιο ποσοστό μαθηματικών που είναι εξαιρετικά όμορφο για τους μαθηματικούς, αλλά εντελώς άχρηστο για την επιστήμη», λέει. «Και υπάρχουν πολλά επιστημονικά προβλήματα - όπως οι αναταράξεις, για παράδειγμα - για τα οποία όλοι θα θέλαμε να βρούμε κάποια χρήσιμα μαθηματικά, αλλά δεν τα έχουμε βρει».

Η Mary Leng, φιλόσοφος στο Πανεπιστήμιο του York, στο Ηνωμένο Βασίλειο, έχει σχετική άποψη. Περιγράφει τον εαυτό της ως «fictionalist» − βλέπει, δηλαδή, τα μαθηματικά αντικείμενα ως χρήσιμες μυθοπλασίες και τα παρομοιάζει με τους χαρακτήρες μιας ιστορίας ή ενός μυθιστορήματος. «Κατά μία έννοια, είναι πλάσματα της δημιουργίας μας, όπως είναι ο Σέρλοκ Χολμς». Αλλά υπάρχει μια βασική διαφορά μεταξύ του έργου ενός μαθηματικού και του έργου ενός μυθιστοριογράφου: Τα Μαθηματικά έχουν τις ρίζες τους σε έννοιες όπως η γεωμετρία και η μέτρηση, οι οποίες συνδέονται άμεσα με τον φυσικό κόσμο. Είναι αλήθεια ότι μερικά από τα πράγματα που οι μαθηματικοί σήμερα ανακαλύπτουν είναι άκρως δυσνόητα και περίπλοκα, αλλά στο τέλος, τα μαθηματικά και η επιστήμη είναι στενά συνδεδεμένα, λέει η Leng. «Επειδή τα [μαθηματικά] εφευρέθηκαν ως εργαλείο για να βοηθήσουν τις επιστήμες, δεν αποτελεί έκπληξη το γεγονός ότι είναι στην πραγματικότητα χρήσιμο στις επιστήμες».

Δεδομένου ότι αυτές οι ερωτήσεις σχετικά με τη φύση των μαθηματικών έχουν αποτελέσει αντικείμενο συχνά έντονης συζήτησης για περίπου 2.300 χρόνια, είναι απίθανο να εξαφανιστούν σύντομα. Δεν αποτελεί έκπληξη, λοιπόν, ότι μαθητές λυκείου όπως η Cunningham μπορεί να αναρωτηθούν για αυτούς, καθώς συλλογίζονται το θεώρημα του Πυθαγόρειου, τη γεωμετρία των τριγώνων και τις εξισώσεις που περιγράφουν γραμμές και καμπύλες. Οι ερωτήσεις που έθεσε στο βίντεό της δεν ήταν καθόλου ανόητες, αλλά αρκετά έξυπνες: οι μαθηματικοί και οι φιλόσοφοι έχουν τις ίδιες απορίες εδώ και χιλιάδες χρόνια.

*Με στοιχεία από το Smithsonian Magazine